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Geometrie

Das Studium der Geometrie kann bis in Altertum zurückverfolgt werden, wobei Fragestellungen  von konkreten Anwendungsproblemen, zum Beispiel aus der  Physik, oder dem reinen Erkenntnisgewinn motiviert sein können. Die einzelnen Zweige der Geometrie unterscheiden sich darin, welche Objekte studiert werden und welche Methoden genutzt werden.

Die algebraische Geometrie studiert Kurven, Flächen und höherdimensionale algebraische Varietäten, die durch Polynome definiert werden. Ein einfaches Beispiel ist der Kreis, definiert durch die Gleichung x²+y² =1, aber kompliziertere Gleichungen beschreiben algebraische Varietäten, die noch viele Geheimnisse bergen.  Die Methoden beruhen hauptsächlich auf dem reichhaltigen Arsenal der modernen Algebra, aber auch komplexe Analysis, Zahlentheorie oder Topologie kommen bei Bedarf zum Einsatz. Am Fachbereich wird vor allem zur Geometrie von Linearsystemen und zur Klassifikation von algebraischen Flächen geforscht.

In der Spektralgeometrie geht es darum, Informationen über die Eigenwerte elliptischer Differentialoperatoren (v.a. des Laplace-Operators und des Dirac-Operators) aus der Geometrie (etwa den Krümmungseigenschaften oder dem Verhalten im Unendlichen) einer Mannigfaltigkeit zu extrahieren. Diese Frage wird oft zusammengefasst als "Can one hear the shape of a drum?" (Marc Kac, 1966) – die Frequenzen der Töne, die die Trommel erzeugt, sind genau die Eigenwerte des Dirichlet-Problems für den Laplace-Operator. In dieser Form ist die Frage mittlerweile negativ beantwortet, doch ist es trotzdem möglich, erstaunlich viel Information über die “Trommel” (die Manngfaltigkeit) aus ihrem Frequenzspetrum zu gewinnen. Wieder spielen Symmetrie-Gruppen eine bedeutende Rolle, um die Komplexität eines ansonsten schier unlösbaren Problems auf ein immer noch schwieriges, aber behandelbares Problem zu reduzieren. Zwei wichtige Forschungsschwerpunkte der AG Analysis und Differentialgeometrie sind hier einerseits die Verteilung, genauer, das asymptotische Wachstum der Eigenwerte (Weylsches Gesetz), und andererseits die Herleitung geometrischer Abschätzungen des kleinsten Eigenwerts (Energieniveaus) und die Charakterisierung des Gleichheitsfalls.