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Lie-Theorie

Die Ursprünge der Lie-Theorie gehen auf Arbeiten von Sophus Lie am Ende des 19. Jh. zurück, dessen Untersuchungen von Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen nach dem Prinzip von Galois auf den Symmetrien dieser Gleichungen basierte. Lie legte großen Wert auf die infinitesimalen Symmetrien, die eine Lie-Algebra bilden. Die Theorie entwickelte sich rasch in verschiedene Richtungen. Die Grundbausteine der Theorie, die halbeinfachen Lie-Gruppen und Lie-Algebren, haben neben vielen Bereichen der reinen Mathematik auch weit darüber hinausgehende Anwendungen, z.B. in der Physik oder der Numerik. Am Fachbereich stehen aktuell sowohl algebraische als auch differentialgeometrische Aspekte der Theorie im Fokus des Interesses.

Die AG Algebraische Lie-Theorie untersucht Hopf-Algebren und Quantengruppen, nichtkommutative und nichtkokommutative Verallgemeinerungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren, deren Strukturtheorie starke Bezüge zur klassischen Theorie hat, insbesondere über die Theorie der Wurzelsysteme. Diese algebraischen Objekte erlauben es, den Begriff der Symmetrie stark zu verallgemeinern und Strukturen wie homogene Quantenräume zu untersuchen, die im verallgemeinerten Sinne symmetrisch sind. 

In moderner Mathematik hat sich die Lie-Theorie als natürliche Sprache zur Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien geometrischer Strukturen bewährt. In der AG Analysis und Differentialgeometrie werden homogene Riemannsche, Kähler-, Sasaki- und verwandte Strukturen mit Hilfe der Lie-Theorie im Hinblick auf ihre geometrischen, analytischen und topologischen Eigenschaften betrachtet. Allgemeinere Wirkungen von Lie-Gruppen werden genutzt, um neue Beispiele geometrischer Strukturen zu konstruieren, wie etwa Mannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie, die dann wiederum in der theoretischen Physik von Relevanz sind, oder um geometrische Probleme zu diskretisieren, wie in torischer symplektischer Geometrie oder GKM-Theorie. Komplementär zur klassischen halbeinfachen Lie-Theorie spielen nilpotente Lie-Gruppen und Nilmannigfaltigkeiten, die in der AG Algebraische und Komplexe Geometrie untersucht werden, eine wichtige Rolle, auch als Beispielquelle um die Grenzen klassischer Theorien auszuloten.